如何能迅速您填写一个圈?

来源:焦点科技股份有限公司,让创意科技无处不在  时间:2019-11-10  点击:
内容摘要:迈克尔Boshernitzan,在我读研究生的母校,莱斯大学的数学教授,离开了人世的最后一周。我花了一类与他,但他在我的生活产生更大的影响

迈克尔Boshernitzan,在我读研究生的母校,莱斯大学的数学教授,离开了人世的最后一周。我花了一类与他,但他在我的生活产生更大的影响为配偶乔恩·柴卡的顾问。他们有一个美好的顾问与学生的关系,我知道乔恩特别赞赏迈克尔的敏锐的眼光有趣的数学问题和数学无限的热情。 (感觉奇怪,我是指我的丈夫是柴卡,而不是乔恩,但同时也感到奇怪的名字和一个姓氏或名字来指既指一个人在一个岗位。由于没有非可余的选择,我将把它们作为迈克尔和Jon。)

听到这个噩耗后,我发现自己浏览上他的arXiv的论文,并决定点击“最密集的小号层序在单位圆“,这是他和乔恩cowrote十年前。本文仅两页长,而且这也是一种乐趣。

他们的文章的标题是指单位圆,通常被定义为半径为1的圆,但在单位圆他们实际上是使用与为1的圆周上的圆(因此一个1 /π的半径)。这种区别并不重要,他们可以通过π根据需要运送他们的工作移交给标准单位乘以圈的事情,但是这个事实可以帮助我们了解他们是如何做他们的工作的一部分。 (通常,当数学家指了一圈,我们指的是一个空心圆,而不是一个实心圆,我们会叫的光盘。不幸的是,我们经常马虎这个用法,说这样的话“圆的面积是πR2。”该一的圆的意图是0,因为圆是1维的,而不是2维的。的圆的长度是2πR,和光盘的区域是πR2。)

考虑的圆的一种方法是作为与它的两个间隔端部粘接在一起,在这种情况下,长度1的间隔做在这个区间算术包括:考虑所涉及的数的“小数部分”。实数的小数部分是当你砍掉任何小数点左边你会得到什么。的1.5的小数部分为0.5,π的小数部分是0.14159 ...,5的小数部分是0(由于π例子所示,一个数的小数部分不一定是一小部分。)在论文中,迈克尔和Jon通过×(模1)表示的数×的小数部分。

与数字的小数部分工作可以很容易地看到数字直线和圆之间的关系,了解纸张的重要组成部分:通过对真正做算术回答关于圆点问题号线。仅小数部分处理,我们可以考虑一个数线是一堆切碎和堆叠在彼此,或更好的顶部的是,为被卷绕在圆无限次间隔。

迈克尔和乔恩在寻找填补了点的无限序列的圆最密集的方式。唯一的问题是,它并不明显如何衡量一组零维点的密度在一维线。在论文工作的一部分,实际上是为了找出切合实际的方法来测量它们后的物性。

密度的数行内套的传统定义是一套是致密的,如果每个小间隔包含在设定点。有理数密集,因为任何间隔,不管多么小的长度,至少包含一个有理数。密度的这个概念是二进制的:一组是是致密的事实并非如此。在圈数的许多,许多序列(视为实数的小数部分)是在这个意义上密集。例如,通过在添加相同的无理数到前一术语及以上(并取答案的小数部分)获得的序列是在密集的圆。最终,该序列的某些项会打在圈中的任何微小的时​​间间隔。添加一个有理数了个遍,在T他另一方面,不密实,因为最终你会重复同样的数量。例如,序列0,1/2,1/2,3/4,0,1/4,1/2,2/4,...只击中相同的四个数字。

许多序列是密集在这个意义上,但有一种方法来量化如何快速而有效地在圈内的顺序填充?这些都是概念迈克尔和乔恩在归零。他们提出了两种措施,并且在一定程度上优化了它们的序列。

第一项措施被标记DN在纸和措施最远的圆的任何点可以是从最近的点在该序列的第一个 n的术语。一个例子有助于:让我们选择一个简单的序列,其中第n个项是数n / 3(MOD 1)的序列。从0开始,这个过程前进0,1/3,2/3,0,1/3,2/3,等等,只是沿着圆采取步骤以长度1/3行进。 n = 3时后,将密度DN稳定。点1/6,1/2,和5/6有两种序列的点之间的所有中间,并且它们具有从最近的点的距离的1/6。圆上的任何其他点更靠近一个顺序点。所以Dn为1/6为任何 n的大于或等于3。计算的DN更复杂的序列大于0,1/3,2/3当然要更具挑战性,但大的想法是,这一措施保持的轨道如何严重的序列缺失打在第n个步骤中的单位时间间隔的每一个点的每个 n的

他们使用的其他量度被称为DN(如果你大声读这篇文章的时候,我建议你喊Dn和whisperiNG DN,以帮助保持他们直在你的头脑),它跟踪的序列的最近点有多接近对方。在的情况下为0,1/3,2/3,最接近的点具有距离1/3彼此,所以DN该序列是1/3。这个概念可能会更好地认为是扩张比密度:糖尿病肾病的较大值序列是一个序列,其中每一个新名词是很远从以前的条款

本文的目标是找到一个序列。这确实既DN和DN一份好工作。 DN-序列这意味着小值越来越接近DN-该序列的每个新学期的圆和较大值的所有点是从以前的所有条款很远。

中奖序列迈克尔和Jon发现的是其实并不难懂。它的LOG2(2K-1)(模1)其中k = 1,2,3,依此类推。函数LOG2(x)是的基体2的对数×中,向其中2必须提出的编号,以获得×;例如,23 = 8,所以LOG2(8)= 3。在几号堵漏,你可以看到,从纸上的顺序是基础2对数奇整数的小数部分的序列。这是一个拗口,但它并不难,开始在数字上插上一个在线计算器来感受一下序列的开始。对于 K K 周围很多移动的基体2的对数的小数部分的小的值。对于 K 的大的值,则序列术语最终得到并拢。 (尝试在一些5-或6-位数字地插入对 K ,看看如何小从一个序列移动项下。)

在他们的文章中,迈克尔和Jon表明,基地序列2个日志奇数做的好工作都已经接近中圈所有的点,并保持最小距离在大的方面,什么是可能的序列点之间。特别是,他们表明,竞争序列有时可能会击败他们的序列,但他们的序列将无限经常赢。事实上,为 N 的增加,他们的顺序获得殊荣-ER和获奖儿超过所有竞争对手。

这不是一个惊天动地的纸,但我决定钻进去,因为这是一口大小和接触到我,不像他的一些更深层次的工作。它也适合我认为迈克尔是一位数学家的方式,但当然,我的看法是从距离;我NE版本与他共事。他喜欢提问和回答这是非常自然的问题,但没有一个人想过要问了。虽然花了些力气在这篇博客设置,问题的基本前提很可能是直接的谁采取了介绍分析类数学研究生。迈克尔也喜欢聪明,高效的争论。基本术语在本文中定义之后,两个定理的证明只需要大约半页,并且不那么多需要大量的数学机械为大约序列和时间间隔敏锐观察。数学并不一定是惊天动地约为值得思考的,我很高兴我大约花了这个问题一段时间的思考。